„PROPORȚIA DE AUR” ÎN OPERA EMINESCIANĂ

„PROPORȚIA DE AUR”

ÎN OPERA EMINESCIANĂ

Adevărul nu resultă din deduceri logice decât numai în matematică (Mihai Eminescu)

„PROPORȚIA DE AUR”

„Proporția de aur”, „Proporția divină” sau „Secțiunea de aur” (sectio aurea în limba latină), evidențiată prin „Raportul de aur” sau „Numărul φ (phi)”, notat uneori și cu Φ, semnifică o relație de proporționalitate care se realizează între un întreg și segmentele sale și care corespunde simetriei rapoartelor dintre întreg și segmentele sale.

Numărul de aur φ este rezultatul unor rapoarte între elementele ce configurează diverse componente ale lumii vii (configurația petalelor sau semințelor la unele plante, proporția unor elemente ale corpului omenesc, cochilii ale unor nevertebrate etc) mergând până la imaginea uraganelor sau a galaxiilor în spirală. Întrucât acest număr îmbină armonios proprietățile matematice cu cele estetice, a fost utilizat în decursul istoriei (inconștient sau conștient pe baza modelelor din natură) de către creatori din varii domenii tehnice, dar și artistice, de la construcții, arhitectură, la pictură, sculptură, muzică și literatură.

În muzică, „proporția de aur” a fost folosită la construcția instrumentelor cu claviatură. Astfel orice octavă (13 clape) conține 8 clape albe și 5 negre. Clapele negre sunt împărțite, la rândul lor, în grupuri de două și trei elemente. Structurile sonore, raportate la semitonuri corespund următoarelor intervale muzicale: 2 semitonuri secundă mare; 3 semitonuri-terță mică; 5 semitonuri-cvartă perfectă; 8 semitonuri-octavă mărită etc. Unele cercetări au evidențiat „numărul φ” la nivelul arhitectonic al pieselor muzicale datorate multor compozitori: Ludwig van Beethoven, W.A.Mozart, Claude Debussy, Béla Bartók, W.G.Berger ș.a.

Simbolul φ reprezintă prima literă din numele sculptorului grec Phidias (fig.1) considerat a fi primul artist care a utilizat „proporția de aur” în creațiile sale, printre care se numără statuia lui Zeus din templul Olympia și Parthenonul din Atena. Una dintre primele definiții ale „proporției de aur” aparține matematicianului Euclid (fig.2), care a denumit-o ca medie și extremă rație.

În această accepțiune, întregul (a ═ b+c ) din figura 3 trebuie să fie divizat astfel încât raportul dintre întreg și segmentul mare să fie egal cu raportul dintre segmentul mare și cel mic, sau altfel spus: a/b = b/c = φ. Notând cu 1 segmentul mic și cu x segmentul mare, proporția de mai sus devine: x/1=x+1/x. Efectuând produsul mezilor și respectiv al extremilor, rezultă ecuația: x2=x+1 sau x2-x-1=0.

Această ecuație are două soluții, dintre care se reține prima: x1=(1+√5)/2×2=(1-√5)/2.

Astfel, valoarea „proporției de aur” este un număr irațional (x1 fiind de fapt semisuma dintre 1 și rădăcina pătrată a lui 5 și anume: 1,6180339887). Una dintre cele mai cunoscute aproximări ale „proporției de aur” este seria numerică denumită șirul lui Fibonacci (fig.4). În acest șir, începând cu al treilea termen, fiecare rezultă din suma celor doi termeni dinaintea lui : 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144… Pe de altă parte, cu cât înaintăm mai mult în șir, raportul dintre termenii consecutivi se apropie tot mai mult de valoarea lui φ determinată mai înainte: 1,618…..: 1/1=1,000000; 2/1=2,000000; 3/2 =1,500000; 5/3=1,666666; 8/5=1,600000; 13/8=1,625000; 2 1 / 1 3 = 1 , 6 1 5 3 8 5 ; 34/21=1,618182.

În figurile 5, 6, 7 și 8 sunt exemplificate aplicații în natură și în diverse domenii de activitate ale spiralei lui Fibonacci care ilustrează ”proporția de aur”.

Fig.1 Sculptorul Phidias (490-430 î.Hr.)

Fig.2 Matematicianul Euclid (325-265 î.Hr.)

Fig. 3 Reprezentarea geometrică a elementelor „secțiunii de aur” (1170-1250)

Fig.4. Leonardo (Pisano Bogollo) / Fibonacci

MIHAI EMINESCU ȘI MATEMATICA

Cercetând viața și opera poetului nostru național am fost fascinat de preocupările acestui „spirit enciclopedic” pentru științele exacte și mai ales pentru matematică. Analizând, printre altele, volumul al XV-lea din „Operele lui Mihai Eminescu”, apărut în 1993 la Editura Academiei Române, sub îngrijirea lui Petru Creția și Dimitrie Vatamaniuc, am găsit numeroase expuneri teoretice, comentarii și reflecții cu privire la matematică, astronomie, fizică și științele naturii. Mai ales în textele scrise în primăvara și vara anului 1883, poetul folosește un limbaj de maximă concentrare, adesea criptic. În aceste texte, Eminescu „matematizează cele mai

variate domenii ale activității umane“. El afirmă că „Matematica este limba universală, limba de formule, adică de fracțiuni ale celor trei unități: timp, spațiu și mișcare”. Am avut surpriza să întâlnesc însemnări – ale celui care este considerat adesea numai poet! – despre „operații aritmetice” (adunare, scădere, înmulțire, împărțire), cu exemple efectuate după modelul timpului.

Poetului nu-i sunt străine nici „fracţiunile”(fracţiile), multiplicarea fracţiilor, fracţiile echivalente, operaţiile cu fracţii, ridicarea la putere sau extragerea unei rădăcini cubice. O atenţie specială îi acordă cifrei 1 (Rolul lui 1 în şirul numerelor naturale; Reprezentarea lui 1 cu ajutorul fracţiilor; 1 abstract şi concret). Referindu-se la cifra 1, Eminescu consideră că „Cine a zis 1, a zis toată seria infinită a numerelor”. În concepţia sa „Algebra n-a putut să se ivească decât după ce literele au fost descărcate de rolul de-a însemna numere concrete”.

În capitolul Elemente de calcul diferenţial, ocupându-se de raportul dintre „finit” şi „infinit”, face o serie de însemnări caracteristice profunzimii gândirii sale, cum ar fi:

• „Orice mărime finită faţă cu infinitul este zero. De aceea sentimentul de adâncă nimicnicie care ne cuprinde faţă cu Universul”;

• „O mărime concretă adunată c-o mărime infinită dă o mărime infinită”;

• „O mărime concretă din care se scade o mărime infinită dă un rest negativ în infinit”;

• „O mărime concretă multiplicată c-o mărime infinită creşte în progresiunea mărimii infinite”;

• „O mărime concretă divizată printr-o mărime infinită dă zero”.

În Teoria ecuaţiunii interpretează fenomenele umane prin ecuaţii matematice astfel:

• „Orice moment din viaţa universului e ecuaţiunea momentului următor”;

• „Orice moment din prezent e ecuaţiunea momentului trecut”;

• „Nu cunoaştem decât raporturi dintre finit şi finit-ecuaţiunea”;

• „ecuaţiunea fizică: frumuseţea”;

• „ecuaţiunea socială: echitatea”;

• „ecuaţiunea psihologică: lupta şi economia”;

• „ecuaţiunea intelectuală: omnilateralitatea, cultura”;

• „ecuaţiunea comercială: preţul fix”;

• „ecuaţiunea comercială: dobânda legală”.

Influența matematicii în gândirea eminesciană mai poate fi ilustrată în versurile ce urmează. Sfera în universul Poetului este infinită, cubul este finit.

„Iar colo bătrânul dascăl, cu-a lui haină roasă-n coate, Într-un calcul fără capăt tot socoate şi socoate […] Universul fără margini e în degetul cel mic, Căci sub frunte-i viitorul şi trecutul se încheagă Noaptea-adânc-a veciniciei el în şiruri o dezleagă; Precum Atlas în vechime sprijinea cerul pe umăr Aşa el sprijină lumea şi vecia într-un număr. […] Şi în roiuri luminoase izvorând din infinit, Sunt atrase în viaţă de un dor nemărginit, […] Muşti de-o zi pe-o lume mică de se măsură cu cotul, În acea nemărginire ne-nvârtim uitând cu totul. […] Unul e în toţi; tot astfel precum una e în toate; De asupra tuturora se ridică cine poate” („Scrisoarea I”).

„Lumea îmi părea o cifră, oamenii îmi păreau morţi”[…] („Lumea îmi părea o cifră…”) „Capul greu cădea pe bancă, păreau toate-n infinit”[…] („Scrisoarea II”)

„Pân-a nu ajunge-n culmea dulcii muzice de sfere, Ce-o aude cum se naşte din rotire şi cădere” („Scrisoarea V”).

Fig5. Spirala lui Fibonacci

Fig. 6 Mona Lisa încadrată în spirala lui Fibonacci

Fig. 7 Cochilia unui melc în spirală

Fig.8. Galaxie în spirală

MIHAI EMINESCU ȘI „PROPORȚIA DE AUR”

În încercarea de a decripta, prin matematică, opera eminesciană, prima poezie care mi-a atras atenția a fost bine cunoscuta „Glossă”.

Recitind-o cu mare atenție, în contextul celor prezentate la pct.2, am tras concluzia că, mai ales, cea de a cincea strofă seamănă cu o veritabilă demonstraţie matematică, în care: trecutul exprimă ipoteza, viitorul este concluzia, bazată inclusiv pe situația prezentului, iar zădărnicia este demonstraţia, însăși: „Viitorul şi trecutul / Sunt a filei două feţe / Vede-n capăt începutul / Cine ştie să le-nveţe; / Tot ce-a fost ori o să fie / În prezent le-avem pe toate, / Dar de-a lor zădărnicie / Te întreabă şi socoate”.

Pe de altă parte, înlănțuirea (înșiruirea) în cadrul strofei a celor trei timpuri: trecut, prezent și viitor m-a dus cu gândul la șirul lui Fibonacci. Notând, de exemplu cu numărul 13, trecutul, cu numărul 21, prezentul și cu numărul 34, viitorul, avem: viitor/prezent=prezent/trecut=φ sau: 34/21=21/13=φ. Un alt exemplu incitant pentru eminescologi îl reprezintă primele patru versuri ale poeziei “Cu mâne zilele-ţi adaogi”: „Cu mâne zilele-ţi adaogi, / Cu ieri viaţa ta o scazi / Şi ai cu toate astea-n faţă / De-a pururi ziua cea de azi”.

Observăm că primele două versuri reprezintă diferenţa dintre mâine şi ieri. Al treilea vers dă semnul egal, iar versul al patrulea este tocmai azi. Considerând trei termeni consecutivi (ex.:5, 8, 13) şi denumindu-i: ieri, azi, mâine, relaţia dintre ei se închide perfect : mâine – ieri = azi sau 13 – 5 = 8. Procedând similar ca mai înainte, avem: mâine/azi=azi/ieri=φ sau: 13/8=8/5=φ.

Și în fine, un alt exemplu, care se referă la poezia „Rugăciunea unui dac”, atât de prețuită de Emil Cioran. Este vorba de primele patru rânduri: Pe când nu era moarte, nimic nemuritor, Nici sâmburul luminii de viață dătător, Nu era azi, nici mâne, nici ieri, nici totdeauna, Căci unul erau toate și totul era una. Aici am putea descoperi chiar patru termeni temporali consecutivi din șirul lui Fibonacci (ieri, azi, mâne/mâine și totdeauna), iar interpretarea ar fi identică cu cele de la exemplele anterioare.

Dacă în artele plastice (fig.6) sau chiar în natură (fig.7 și fig.8) spirala lui Fibonacci pune în evidență prin imagini reale armonia întregului în raport cu segmentele acestuia, în cazul poeziei (literaturii în general) această armonie trebuie înțeleasă ca o imagine virtuală simbolizând raportul dintre cuvintele care se înșiruie după modelul matematic respectiv, pentru a contribui la „proporția de aur” a întregii lucrări.

ÎN LOC DE CONCLUZII

Mihai Eminescu a avut o educație „nemțească”, la propriu și la figurat, începând din anii de școală la Cernăuți și continuând cu studiile superioare de la Viena și Berlin. În consecință, opera sa literară mustește de rigurozitate și dorință de perfecțiune. Nenumărate poezii au fost refăcute și îmbunătățite, astfel că numai vestita „Doina” a cunoscut, după unii critici, 8-10 versiuni.

Pe de altă parte, fiind mare iubitor și cunoscător al istoriei universale și admirator al artelor frumoase, este posibil să fi tins, în scrierile sale, voit sau instinctiv, către armonia „Proporției de aur”/ „Proporției divine”.

Poate că metoda aleasă aici nu este cea mai potrivită sau poate că acest criteriu de evaluare pentru armonia complexă a unei opere literare nu este suficient de relevant. Totuși sunt convins că prin cercetări aprofundate și cu folosirea tehnicii moderne de calcul, din opera „infinitului mare” Mihai Eminescu vor fi decriptate numeroase adevăruri de inspirație divină!

OVIDIU ŢUŢUIANU

Contents